الرياضيات المتناهية الأمثلة

f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

خطوة 1

اكتب

f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ في صورة معادلة.

y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

خطوة 3

أوجِد قيمة

y

$y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ .

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

(y - 7) (y + 1), 1

$(y - 7) (y + 1), 1$

خطوة 3.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ في

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ في

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$ .

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

خطوة 3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

وسّع

$(y - 7) (y + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

خطوة 3.3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

خطوة 3.3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

خطوة 3.3.3.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

اضرب

$y$ في

$y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اضرب

$y$ في

$1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

خطوة 3.3.3.2.1.3

اضرب

$- 7$ في

$1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

خطوة 3.3.3.2.2

اطرح

$7 y$ من

$y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

خطوة 3.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

خطوة 3.3.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

خطوة 3.3.3.4.2

انقُل

$- 7$ إلى يسار

$x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن

$y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

خطوة 3.4.2

اطرح

$y$ من كلا المتعادلين.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

خطوة 3.4.3

أضف

$9$ إلى كلا المتعادلين.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

خطوة 3.4.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.4.5

عوّض بقيم

$a = x$ و

$b = - 6 x - 1$ و

$c = - 7 x + 9$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

$y$ .

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

خطوة 3.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.2

اضرب

$- 6$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.3

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.4

أعِد كتابة

${(- 6 x - 1)}^{2}$ بالصيغة

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.5

وسّع

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6.1.2

اضرب

$x$ في

$x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.6.1.2.1

انقُل

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6.1.2.2

اضرب

$x$ في

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6.1.3

اضرب

$- 6$ في

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6.1.4

اضرب

$- 1$ في

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6.1.5

اضرب

$- 6$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6.1.6

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.6.2

أضف

$6 x$ و

$6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.9

اضرب

$9$ في

$- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.10.1

اضرب

$x$ في

$x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.10.1.1

انقُل

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.10.1.2

اضرب

$x$ في

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.10.2

اضرب

$- 4$ في

$- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.11

أضف

$36 x^{2}$ و

$28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.12

اطرح

$36 x$ من

$12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

خطوة 3.4.7

غيّر

$\pm$ إلى

$+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

خطوة 3.4.8

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء

$-$ من

$\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.2

اضرب

$- 6$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.3

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.4

أعِد كتابة

${(- 6 x - 1)}^{2}$ بالصيغة

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.5

وسّع

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6.1.2

اضرب

$x$ في

$x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1.6.1.2.1

انقُل

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6.1.2.2

اضرب

$x$ في

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6.1.3

اضرب

$- 6$ في

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6.1.4

اضرب

$- 1$ في

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6.1.5

اضرب

$- 6$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6.1.6

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.6.2

أضف

$6 x$ و

$6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.9

اضرب

$9$ في

$- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1.10.1

اضرب

$x$ في

$x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1.10.1.1

انقُل

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.10.1.2

اضرب

$x$ في

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.10.2

اضرب

$- 4$ في

$- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.11

أضف

$36 x^{2}$ و

$28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.1.12

اطرح

$36 x$ من

$12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

خطوة 3.4.8.2

غيّر

$\pm$ إلى

$-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

خطوة 3.4.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

خطوة 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ هي معكوس

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ و

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم

$y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في

$\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي

$0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

خطوة 5.3.2.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5.3.2.3

عوّض بقيم

$a = 64$ و

$b = - 24$ و

$c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

$x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1.1

ارفع

$- 24$ إلى القوة

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4.1.2

اضرب

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1.2.1

اضرب

$- 4$ في

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4.1.2.2

اضرب

$- 256$ في

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4.1.3

اطرح

$256$ من

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4.1.4

أعِد كتابة

$320$ بالصيغة

$8^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1.4.1

أخرِج العامل

$64$ من

$320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4.1.4.2

أعِد كتابة

$64$ بالصيغة

$8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.4.2

اضرب

$2$ في

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

خطوة 5.3.2.4.3

بسّط

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء

$+$ من

$\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1.1

ارفع

$- 24$ إلى القوة

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.5.1.2

اضرب

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1.2.1

اضرب

$- 4$ في

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.5.1.2.2

اضرب

$- 256$ في

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.5.1.3

اطرح

$256$ من

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.5.1.4

أعِد كتابة

$320$ بالصيغة

$8^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1.4.1

أخرِج العامل

$64$ من

$320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.5.1.4.2

أعِد كتابة

$64$ بالصيغة

$8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.5.2

اضرب

$2$ في

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

خطوة 5.3.2.5.3

بسّط

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.2.5.4

غيّر

$\pm$ إلى

$+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.2.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء

$-$ من

$\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.1

ارفع

$- 24$ إلى القوة

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.6.1.2

اضرب

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.2.1

اضرب

$- 4$ في

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.6.1.2.2

اضرب

$- 256$ في

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.6.1.3

اطرح

$256$ من

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.6.1.4

أعِد كتابة

$320$ بالصيغة

$8^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.4.1

أخرِج العامل

$64$ من

$320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.6.1.4.2

أعِد كتابة

$64$ بالصيغة

$8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

خطوة 5.3.2.6.2

اضرب

$2$ في

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

خطوة 5.3.2.6.3

بسّط

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.2.6.4

غيّر

$\pm$ إلى

$-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.2.7

وحّد الحلول.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.2.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.2.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.9.1

اختبر قيمة في الفترة

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.9.1.1

اختر قيمة من الفترة

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 5.3.2.9.1.2

استبدِل

$x$ بـ

$0$ في المتباينة الأصلية.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

خطوة 5.3.2.9.1.3

الطرف الأيسر

$1$ أكبر من الطرف الأيمن

$0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.9.2

اختبر قيمة في الفترة

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.9.2.1

اختر قيمة من الفترة

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.19$

خطوة 5.3.2.9.2.2

استبدِل

$x$ بـ

$0.19$ في المتباينة الأصلية.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

خطوة 5.3.2.9.2.3

الطرف الأيسر

$- 1.2496$ أصغر من الطرف الأيمن

$0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.9.3

اختبر قيمة في الفترة

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.9.3.1

اختر قيمة من الفترة

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 5.3.2.9.3.2

استبدِل

$x$ بـ

$3$ في المتباينة الأصلية.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

خطوة 5.3.2.9.3.3

الطرف الأيسر

$505$ أكبر من الطرف الأيمن

$0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.9.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ صحيحة

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ خطأ

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ صحيحة

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ صحيحة

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ خطأ

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ صحيحة

خطوة 5.3.2.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ أو

$x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ أو

$x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة القاسم في

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 x = 0$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في

$2 x = 0$ على

$2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في

$2 x = 0$ على

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.4.2.1.2

اقسِم

$x$ على

$1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1

اقسِم

$0$ على

$2$ .

$x = 0$

خطوة 5.3.5

النطاق هو جميع قيم

$x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

خطوة 5.4

بما أن نطاق

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ لا يساوي مدى

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ ، إذن

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ ليست معكوس

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6